OPERACIONES MATRICIALES-PARTE III
- PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR
Dada una matriz
cualquiera A y un número real k, el producto de k.A se realiza multiplicando
todos los elementos que contenga la matriz A por k, y de tal forma que la
matriz resultante seria de igual tamaño.
Ejemplo 1:
Para tener un ejemplo
más claro encontramos una explicación más sencilla en el siguiente ejercicio:
Calcular:
-2A+5I-3B
Se trata de una operación
que combina multiplicaciones escalares junto con sumas y restas de matrices de
dimensiones 3x3. Además, la matriz I es la matriz identidad, la cual esta
compuesta por 1 en la diagonal principal y 0 el resto de elementos:
Por lo tanto, primero
hacemos las multiplicaciones:
Sumamos las dos
primeras matrices:
Por último, realizamos
la resta de las matrices:
- PROPIEDADES DE UN PRODUCTO POR UN ESCALAR
El producto de una
matriz por un numero es una ley de composición externa que cumple las siguientes
propiedades:
- Distribución mixta del producto respecto a la suma de matrices:
Distribución mixta del producto respecto a la suma de números reales.
Asociativa mixta:
- Elemento Neutro para ley externa.
- PROPIEDAD ASOCIATIVA:
Fíjate en dos siguientes
operaciones como dan el mismo resultado, independientemente de como
multipliquemos el 2 y el 3:
- PROPIEDAD DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE ESCALARES
Como puedes ver en el
ejemplo de abajo, es igual si primero sumamos 1+2 y luego lo multiplicamos por
una matriz, o si multiplicamos la matriz por separado por 1 y por 2 y después
sumamos los resultados:
- PROPIEDAD DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE MATRICES
Es decir, sumar dos
matrices matemáticas y luego multiplicarlas por un número es equivalente a
multiplicar por separado las dos matrices por el mismo número y después sumar
los resultados. En el ejemplo de abajo se puede comprobar:
- PROPIEDAD DEL ELEMENTO NEUTRO
Por lo tanto, al multiplicar
una matriz por 1 no modificamos la matriz:
Estas son las
propiedades del producto por un escalar por una matriz
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